Hej där! Som leverantör av kommutatorer blir jag ofta frågad om hur jag ska ta reda på om två element pendlar baserat på kommutatorn. Så jag trodde att jag skulle dela lite insikter om detta ämne.
Först och främst, låt oss prata om vad en kommutator är. I matematik och fysik definieras kommutatorn för två element (a) och (b) som ([a, b] = ab - ba). Det är ett riktigt användbart koncept som hjälper oss att förstå förhållandet mellan två element när det gäller deras driftsordning.
Om ([a, b] = 0), säger vi att (a) och (b) pendla. Detta innebär att ordningen i vilken vi multiplicerar (a) och (b) inte spelar någon roll; (AB) är densamma som (BA). Å andra sidan, om ([a, b] \ neq0), då (a) och (b) inte pendlar, och beställningen av multiplikationsfrågor.
Så, hur bestämmer vi faktiskt om två element pendlar baserat på kommutatorn? Det beror på vilken typ av element vi har att göra med. Låt oss titta på några olika fall.
Matriser
Matriser är en av de vanligaste typerna av element där vi använder kommutatorn. Anta att vi har två matriser (a) och (b). För att ta reda på om de pendlar beräknar vi helt enkelt kommutatorn ([a, b] = ab - ba).
Låt oss ta ett enkelt exempel. Anta (a = \ börja {pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end {pmatrix}) och (b = \ börja {pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \ end {pmatrix}).
Först beräknar vi (AB):
[
AB=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times3 + 0\times0&1\times0+0\times4\0\times3 + 2\times0&0\times0 + 2 \ Times4 \ End {PMATRIX} = \ BEGIN {PMATRIX} 3 & 0 \ 0 & 8 \ END {PMATRIX}
]
Därefter beräknar vi (BA):
[
BA = \ BEGIN {PMATRIX} 3 & 0 \ 0 & 4 \ END {PMATRIX} \ BEGIN {PMATRIX} 1 & 0 \ 0 & 2 \ END {PMATRIX} = \ BEGIN {PMATRIX} 3 \ TIMS1 +0 \ TIMS0 & 3 \ TIMES0 + + 0 \ times2 \ 0 \ times1+4 \ times0 & 0 \ times0+4 \ times2 \ end {pmatrix} = \ börja {pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pmatrix}
]
Nu beräknar vi kommutatorn ([a, b] = ab - ba):
[
[A, b] = \ börja {pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pmatrix}-\ börja {pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pmatrix} = \ börja {pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ end {pmatrix}}
]
Eftersom ([a, b] = 0) kan vi dra slutsatsen att (a) och (b) pendla.
Men vad händer om vi har mer komplexa matriser? Tja, processen är densamma, men beräkningarna kan bli lite mer involverade. Du kanske vill använda ett datorprogram eller en kalkylator för att hjälpa till med Matrix -multiplikationerna.
Operatörer
I kvantmekanik används operatörer för att representera fysiska observerbara. Precis som matriser kan vi använda kommutatorn för att avgöra om två operatörer pendlar.
Låt oss säga att vi har två operatörer (\ hat {a}) och (\ hat {b}). För att ta reda på om de pendlar beräknar vi ([\ hat {a}, \ hat {b}] = \ hat {a} \ hat {b}-\ hat {b} \ hat {a}).
Tänk till exempel på positionsoperatören (\ hat {x}) och momentumoperatören (\ hat {p}). Kommutatorn ([\ hat {x}, \ hat {p}] = i \ hbar), där (i) är den imaginära enheten och (\ hbar) är den reducerade Plancks konstant. Sedan ([\ hat {x}, \ hat {p}] \ neq0), vet vi att positionen och momentumoperatörerna inte pendlar.
Detta har några riktigt viktiga konsekvenser i kvantmekanik. Det betyder att vi inte kan mäta positionen och momentumet för en partikel samtidigt med godtycklig precision. Detta är känt som Heisenbergs osäkerhetsprincip.
Gruppelement
I gruppteori kan vi också använda kommutatorn för att avgöra om två gruppelement pendlar. Låt (g) vara en grupp, och låt (a) och (b) vara två element i (g). Kommutatorn för (a) och (b) definieras som ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab).
If ([a, b] = e), där (e) är identitetselementet i gruppen, då (a) och (b) pendling. För att se varför kan vi skriva om ([a, b] = e) som (a^{-1} b^{-1} ab = e). Multiplicera båda sidor till vänster av (a) och till höger av (b) får vi (ba = ab).
Tänk till exempel på gruppen av heltal (\ mathbb {z}) under tillägg. Låt (a) och (b) vara två heltal. Kommutatorn ([a, b] = (-a)+(-b)+a+b = 0). Eftersom (0) är identitetselementet för (\ mathbb {z}) under tillägg, vet vi att alla två heltal pendlar.
Varför är det viktigt att veta om två element pendlar?
Att veta om två element pendlar kan ha några riktigt viktiga konsekvenser. I kvantmekanik, som vi såg tidigare, leder icke -pendlingsoperatörer till osäkerhetsprincipen. I Matrix Theory har pendlingsmatriser några fina egenskaper. Till exempel, om två matriser (a) och (b) pendlar, är de samtidigt diagonaliserbara.
I gruppteori genererar uppsättningen av alla kommutatorer i en grupp en undergrupp som heter Commutator -undergruppen. Strukturen för undergruppen Commutator kan berätta mycket om själva gruppen.
Våra kommutatorprodukter
Som kommutatorleverantör erbjuder vi ett brett utbud av kommutatorer av hög kvalitet för olika applikationer. Oavsett om du arbetar med ett litet forskningsprojekt eller en storskalig industriell applikation, har vi täckt dig. Du kan kolla in vårKommutatorerPå vår webbplats för att se de olika typerna och specifikationerna vi erbjuder.
Våra kommutatorer är gjorda med den senaste tekniken och material av högsta kvalitet för att säkerställa optimal prestanda och tillförlitlighet. Vi tillhandahåller också utmärkt kundservice och teknisk support som hjälper dig att välja rätt kommutator för dina behov.
Om du är intresserad av att köpa våra kommutatorer eller har några frågor om våra produkter kan du gärna nå ut till oss. Vi är alltid glada över att prata och diskutera dina krav. Oavsett om du är en forskare, ingenjör eller bara någon som är nyfiken på kommutatorer, skulle vi gärna arbeta med dig.
Referenser
- Hall, Marshall. Teorin om grupper. Macmillan, 1959.
- Sakurai, JJ och Napolitano, Jim J. Modern Quantum Mechanics. Addison - Wesley, 2011.
- Strang, Gilbert. Linjär algebra och dess tillämpningar. Cengage Learning, 2012.